Es gibt mehrere verschiedene Methoden, eine Beweis zu führen. Zwei der Grundlegenden werden hier angewendet.
Der Beweis der Aussage umfaßt zwei Teile: Die Existenz der Zerlegung und die Eindeutigkeit.
1. Existenz (Beweismethode: Beweis durch vollständige Induktion):
Ist n eine Primzahl, so ist die Zerlegung schon gegeben, nämlich 1*n. Ist n zusammengesetzt, so kann man es als Produkt zweier natürlicher Zahlen n1 und n2, die beide kleiner als n und größer als 1 sind, schreiben (das hätte man vorher übrigens beweisen müssen), also n=n1*n2. Nun untersucht man n1 und n2 weiter. Diese kann man weiter zerlegen. Das Verfahren endet, da die Zerlegungen immer kleinere Zahlen als die Ausgangszahl liefern, die aber größer sind als 1. Jede natürliche Zahl n kann also als Produkt von Primzahlen geschrieben werden.
Man kann sie als n=p1k1*p2k2*..*prkr schreiben.
Dies soll bedeuten, daß n "r-viele" verschiedene Primzahlen p1, ..., pr in seiner Primfaktorzerlegung besitzt, wobei p1 k1-oft vorkommt, p2 k2-oft vorkommt, ... und pr, das kr-oft vorkommt.
Eine zweite Methode, Beweise zu führen ist der Beweis durch Widerspruch. Man nimmt hier das Gegenteil der Behauptung an und führt durch logische Schlußfolgerungen diese (falsche) Annahme zu einem Widerspruch (also z.B. 1=2). Ich möchte hier nicht genauer auf die tieferen Hintergründe der vollständigen Induktion und des Beweises durch Widerspruch eingehen.
2. Eindeutigkeit (Beweismethode: Beweis durch Widerspruch)
Angenommen es gibt Zahlen mit zwei Zerlegungen, nämlich n=p1k1*p2k2*..*prkr und n=q1m1*q2m2*..*qsms.
Es ist also:
n=p1k1*p2k2*..*prkr =q1m1*q2m2*..*qsms.
Nehmen wir hiervon die kleinste Zahl. Durch geschickte Argumentation, die ich hier jetzt nicht vorrechnen will (Niven/Zuckmann, 1991) konstruiert man eine kleinere Zahl mit zwei Primfaktorzerlegungen, was der Annahme widerspricht, daß man die kleineste gewählt hatte. Damit ist der zweite Teil des Satzes bewiesen.
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