Ein Mathematiker ist oft wesentlich genauer, als es ein Nichtmathematiker sein würde. Aussagen, die ein Mathematiker beweist, scheinen deshalb Nichtmathematikern oft selbstverständlich.
Für den Beweis des folgenden Satzes sind viele kleine Sätze notwendig, die man auf den ersten Blick nicht sieht.
Der Hauptsatz der Elementaren Zahlentheorie:
Die Zerlegung einer beliebigen natürlichen Zahl n, die größer als 1 sein soll, in Primzahlen (die Primfaktorzerlegung) existiert und ist bis auf die Anordnung eindeutig.
Zur Erinnerung: Eine ganze Zahl n, die größer als eins ist, nennt man Primzahl, wenn sie keine Teiler außer 1 und sich selbst besitzt.
Nun fragt man sich als Laie, ob das nicht immer so ist und warum man so etwas beweisen muß und wie man so eine einfache Aussage beweisen kann. Ein einfaches Beispiel soll verdeutlichen, daß die Aussage nicht so trivial ist, wie es scheint.
Der Aussage des Satzes gilt nur für die natürliche Zahlen. Betrachten wir statt der Menge der natürliche Zahlen z.B. nur die Menge der geraden Zahlen, so stellt man folgendes fest: 2 ist prim, 4 ist gleich 2*2, 6 ist prim 8 gleich 2*2*2, 10 prim, 12 gleich 2*6, 14 prim, .... 6 ist prim ??? 6 ist zwar 2*3, 3 ist aber keine gerade Zahl. Da wir aber nur die Menge der gerade Zahlen betrachten, ist 6 also prim, weil man 6 nicht als Produkt von zwei (geraden) Zahlen darstellen kann.
Die Primzahlen in der Menge der geraden Zahlen (2, 6, 10, 14, ..) sind also andere als die in der Menge der natürlichen Zahlen (3, 5, 7, 11, 13, ..).
60 besitzt in der Menge der geraden Zahlen nun gar zwei Zerlegungen in Primzahlen, nämlich 2*30 (beide prim) und 6*10 (beide prim). Die Aussage, daß die Anordnung der Faktoren der Zerlegung eindeutig ist, stimmt für unser Beispiel auch nicht.
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