Die Idee eines klassischen mathematischen Beweises ist es, mit einer Reihe von Aussagen, die als wahr vorausgesetzt werden, zu beginnen und durch logische Argumentation Schritt für Schritt bei einer Schlußfolgerung zu landen. Wenn die Aussagen vom Anfang wirklich korrekt sind (wovon man ausgehen muß) und die Logik fehlerlos ist, wird die Schlußfolgerung unleugbar sein. Die Schlußfolgerung nennt man dann einen Satz (eng.: theorem). (Singh)
Bei den logischen Argumentation ist es wichtig, Logikfallen zu entdecken. Folgendes Beispiel soll dies verdeutlichen (Konforowitsch, 1990; Singh, S. 341):
| Eine einfache Aussage | a=b |
| Beide Seiten mit a multiplizieren | a2=ab |
| a2-2ab auf beiden Seiten addieren | a2+a2-2ab=ab+ a2-2ab |
| Vereinfachen | 2(a2-ab)= a2-ab |
| Nun noch durch a2-ab teilen | 2 = 1 |
Nun das Problem: 2 ist definitiv nicht 1, a=b als Anfangsaussage ist an sich nichts Falsches. Wo liegt also der Fehler? Lösung!
Eine zweite Falle beim Beweisen ist die Unterschätzung der Schwierigkeit eines Beweises. Es gibt Sätze (Aussagen), denen man die Schwierigkeit ansieht, es gibt aber auch Aussagen, die durch Einfachheit bestechen, jedoch ein riesiges Problem darstellen.
Ein Paradebeispiel hierfür ist der Große Satz von Fermat (Fermats Last Theorem).
- Eine einfache Aussage:
- Für n=2 ist das gerade der Satz von Pythagoras, für den
es solche Zahlen gibt, z.B. x=3, y=4, z=5, denn 32+42=52.
- Für n>2 widerstand der Satz über 358 Jahre lang einem Beweis, denn erst 1993 konnte Andrew Wilese eine Beweis finden, der allerdings so kompliziert ist, daß ihn weltweit nur wenige Spezialisten verstehen werden.
xn+yn=zn hat für n>2 keine Lösungen x,y,z für ganze Zahlen.
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