1.5 Gibt es beliebig große Lücken zwischen zwei Primzahlen? (Riebenboim, 1993)

Für sehr große Zahlen sind die Primzahlen nach den Ergebnissen von Aufgabe 5 immer dünner gesät. Kann es auch eine Lücke geben, in der z.B. unter einer Millionen Zahlen keine Primzahl gefunden werden kann?
Die Antwort lautet: ja. Man kann so eine Lücke aus dem Bauch heraus angeben:

Nehmen wir eine Zahl, die aus dem Produkt aller natürliche Zahlen bis zu dieser Zahl besteht. Man nennt die Funktion hierzu die Fakultät und schreibt ein Ausrufezeichen hinter die Zahl.

Bsp: 5!=5*4*3*2*1=120
oder
20! = 20*19*18*17*16*15*14*13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 2432902008176640000.

Die Fakultät ist eine sehr schnell wachsende Funktion!
Nehmen wir z.B. 5!. 5! ist durch 5,4,3 und 2 teilbar.
  • 5!+2 ist durch 2 teilbar, weil 5! und 2 jeweils durch 2 teilbar sind.
  • 5!+3 ist durch 3 teilbar, weil 5! und 3 jeweils durch 3 teilbar sind.
  • 5!+4 ist durch 4 teilbar, weil 5! und 4 jeweils durch 4 teilbar sind.
  • 5!+5 ist durch 5 teilbar, weil 5! und 5 jeweils durch 5 teilbar sind.
Wir haben also 4 Zahlen in Folge gefunden, die garantiert keine Primzahlen ist. Nach 20!+1 folgen also 19 Zahlen, die zusammengesetzt sind, nach 100!+1 folgen 99 Zahlen, usw. Es ist allerdings wahrscheinlich, daß eine Lücke dieser Größe schon viel früher auftritt.
 

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